直列合成バネ定数

バネ定数がそれぞれ$(k_1,k_2,k_3...)$のバネが直列につながっているとすると、これらのバネの合成バネ定数は

$$\displaystyle \frac{1}{K} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} + \frac{1}{k_3} + \cdot \cdot \cdot$$

前提として、直列にバネをつないだ場合全てのバネに同じ力が加わります。

バネ定数をそれぞれ、$k_1,k_2,k_3...$で、バネの伸びた長さをそれぞれ、$x_1,x_2,x_3...$とします。

これらのバネを直列につないでバネの一端を固定し、もう一方をFの力で引っ張ったとすると、バネの公式より

$k_1x_1 = F$ - ①

$k_2x_2 = F$ - ②

$k_3x_3 = F$ - ③

①②③を変形すると

$x_1 = \dfrac{F}{k_1} - ①'$

$x_2 = \dfrac{F}{k_2} - ②'$

$x_3 = \dfrac{F}{k_3} - ③'$

ここで、合成バネ定数をKとして、バネ全体として伸びた長さをxとおくと

$Kx = F - *$

xは$x_1,x_2,x_3...$を足した長さだから

$x = x_1 + x_2 + x_3 ...$

これを*に代入して

$K(x_1 + x_2 + x_3 ...) = F$

これに①'②'③'を代入すると

$\displaystyle K(\frac{F}{k_1} + \frac{F}{k_2} + \frac{F}{k_3} + ...) = F$

$\displaystyle KF(\frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} + \frac{1}{k_3} + ...) = F$

$\displaystyle (\frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} + \frac{1}{k_3} + ...) = \frac{1}{K}$

よって、

$\displaystyle \frac{1}{K} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} + \frac{1}{k_3} + ...$

バネを直列に繋いでいるので、バネには一定の力がかかるなどイメージして公式を導けるようにしましょう。

初版:2022/7/10