単振り子の周期の公式と証明

長さl[m]の糸におもりをつけて、左右に小さく振動させた時の周期Tは、重力加速度を$g[m/s^2]$として

$$\displaystyle T = 2π \sqrt{ \dfrac{l}{g}}$$

単振り子を直角三角形で考えます。

振り子のx軸方向の運動方程式を考えると、直角三角形で考えると、水平方向の力はmgsinθと考えられるので、

$ma = -mgsinθ - ①$

振り子の直角三角形を考えて、

$sinθ = \dfrac{x}{l}$

これを①に代入して

$a = - \dfrac{g}{l}x - ②$

角振動数をωとしたとき、変位xにおける加速度aは

$a = -ω^2x - ③$

②は③と比較して、単振動の加速度の式とみなせるので、定数の部分((~)xの部分)を比較して

$\displaystyle ω^2 = \frac{g}{l}$

ω > 0より

$\displaystyle ω = \sqrt{ \frac{g}{l}} - ④$

単振動の周期は

$\displaystyle T = \frac{2π}{ω}$

これに④を代入して、

$\displaystyle T = \frac{2π}{ \sqrt{ \dfrac{g}{l}}}$

$\displaystyle T = 2π \sqrt{ \dfrac{l}{g}}$

初版:2022/10/11

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