ボルツマン定数と分子の運動エネルギー

理想気体の分子の運動エネルギーの平均値を$\bar K$とし、 以下のように定義します。

m[kg]:分子の質量

$\bar{v^2}[m^2 / s^2]$:分子の速さの2乗の平均値

T[K]:絶対温度

$R[J / (mol \cdot K)]$:気体定数

$N_a[mol^{-1}]:$アボガドロ定数

$$\dfrac{1}{2} m \bar{v^2} = \dfrac{3R}{2N_a} T$$

分子の運動エネルギーを考えます。

ある容器に入っている気体の分子の総数を$N$、アボガドロ数を$N_a$とすると、
気体のモル数を$n$として

$n = \dfrac{N}{N_a}$

これを気体の状態方程式に代入すると

$PV = \dfrac{N}{N_a} RT - ①$

気体の圧力の一般式(こちらのページでまとめています)

$p = \dfrac{Nm \bar{v^2}}{3V}$

を①に代入すると

$\dfrac{Nm \bar{v^2}}{3V} \times V = \dfrac{N}{N_a} RT$

$m \bar{v^2} = \dfrac{3R}{N_a} T - ②$

ここで分子の持つ運動エネルギーは、運動エネルギーの定義より

$\dfrac{1}{2}m \bar{v^2}$だから②の両辺を2で割って

$\dfrac{1}{2} m \bar{v^2} = \dfrac{3R}{2N_a} T - ③$

このように分子の運動エネルギーを求めることができます。

またこの式より、分子の運動エネルギーは体積と圧力の影響を受けないことがわかります。

式③で現れた$\dfrac{R}{N_a}$を$k$とおくと、この定数をボルツマン定数と呼びます。

$$\displaystyle k = \frac{R}{N_a}$$

初版:2022/8/2
更新:2023/6/5(運動エネルギーの導出の部分を追加)