気体の圧力の公式とその証明

気体が壁に与える圧力の公式とその証明について解説します。

ある体積Vの空間の壁に気体が与える圧力を考えます。
1辺が$L$の長さの空間にある気体分子の総量を$N$、気体の質量を$m$,$v_x,v_y,v_z$の速さで気体が移動するとし、
気体の平均の速さを$\bar{v}$とすると、気体の圧力は以下の公式で求められます。

$p = \dfrac{Nm \bar{v^2}}{3V}$

まず、$x$方向の壁に気体が与える力を考えます

気体分子と壁との力積を考えると、分子の運動量は$mv_x[kg \cdot m/s]$になるので

$F \Delta t = -mv_x - mv_x = -2mv_x$

壁が受け取った力積は作用反作用の法則により、$2mv_x$

次に、気体が再び壁に力積を与えるまでの時間を考えます。

部屋は1辺Lとしたので、往復分は2Lになり、これを気体の速さ$v_x$で割れば時間を求められるので、

$\dfrac{2L}{vx}[s]$

1秒間に分子が壁にぶつかる回数は

$\dfrac{1}{\dfrac{2L}{v_x}} = \dfrac{v_x}{2L}$回

1秒間に1分子が壁に与える力積は

$2mv_x \times \dfrac{v_x}{2L} = \dfrac{mv_{x}^2}{L}[kg \cdot m / s]$

1分子が壁に与える力を$f[N]$とすると、力積の定義により

$f[N] \times 1[s] = \dfrac{mv_{x}^2}{L}[kg \cdot m / s]$

$f = \dfrac{mv_{x}^2}{L}[N]$

続いて、空間全体の分子が壁に与える力を考えます。

いままでは、ある1つの分子の$x$軸方向の速度を考えていましたが、
分子１つ1つの速度は違うので、分子の平均の$x$軸方向の速度を$\bar{v_{x}^2}$とすると

$\bar{v_{x}^2} = \dfrac{v_{1x}^2 + v_{2x}^2 + \cdot \cdot \cdot + v_{Nx}^2}{N}$

よって、$x$軸方向に動く分子全体が壁に与える力を$F$とすると

$F = \dfrac{m}{L} \times N \bar{v_{x}^2} = \dfrac{Nm \bar{v_{x}^2}}{L} - ①$

次に、$x$軸方向の速度と壁に対してのケースでなく、3次元で考えます。

3次元$x,y,z$軸方向の分子の速度をそれぞれ$v_x,v_y,v_z$とし、全体の速さを$v$とすると

$v^2 = v_{x}^2 + v_{y}^2 + v_{z}^2$

その平均は

$\bar{v^2} = \bar{v_{x}^2} + \bar{v_{y}^2} + \bar{v_{z}^2}$

$x,y,z$どの軸の速度の平均は変わらないとみなせるので

$\bar{v_{x}^2} = \bar{v_{y}^2} = \bar{v_{z}^2}$

よって、

$\bar{v_{x}^2} = \dfrac{1}{3} \bar{v^2}$

これを①に代入すると

$F = \dfrac{Nm \bar{v^2}}{3L} - ①$

圧力は対象に対してかかる力をその面積で割ったものなので、
①を壁の面積$L^2$で割ると圧力が求められます。

$p = \dfrac{Nm \bar{v^2}}{3V}$

初版:2023/6/4

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