光の屈折率と相対屈折率

光が屈折率が$n_1$の物質1から、屈折率$n_2$の物質2へと、
入射角$θ_1$で入射し、屈折角$θ_2$で屈折したとすると、以下の関係が成り立ちます。

$$\displaystyle n_1sinθ_1 = n_2sinθ_2$$

物質1に対する物質2の相対屈折率を$n_{12}$とし、
物質1を進む速度を$v_1$、物質2を進む速度を$v_2$とすると、
以下のような関係が成り立ちます。

$$\displaystyle n_{12} = \frac{n_2}{n_1} = \frac{sinθ_1}{sinθ_2} = \frac{v_1}{v_2} $$

真空中の光速を$c$、物質1,2中の光速をそれぞれ$c_1$,$c_2$とすると、
屈折率の定義より

$\displaystyle c_1 = \frac{1}{n_1}c$

$\displaystyle c_2 = \frac{1}{n_2}c$

屈折の法則に代入して、

$\displaystyle \frac{sinθ_1}{sinθ_2} = \frac{c_1}{c_2}$

速さを代入して

$\displaystyle = \dfrac{\dfrac{c}{n_1}}{\dfrac{c}{n_2}} = \dfrac{n_2}{n_1}$

分配すると

$\displaystyle n_1sinθ_1 = n_2sinθ_2$

物質1に値する物質2の相対屈折率$n_{12}$は、
物質1の屈折率に対する物質2の屈折率の比なので、

$\displaystyle \frac{n_2}{n_1}$

光の屈折の法則を代入して

$\displaystyle \frac{sinθ_1}{sinθ_2} = n_{12}$

初版:2022/8/15
更新:2022/12/9(相対屈折に速度の等式も追加)

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